∮法老王的胸兜♪

這是由無數圓圈組成的碎形結構(Fractal )。它被稱為克萊因群裡的極限集；克萊因群是以簡單碎形原則創造複查圖形的另一種有力例證。
科學有一個很大的特色，就是：許多看似截然不同、毫不相關的現象，都可以用一樣的數學模型解釋。古人用來算直角、蓋廟堂的二次方程式，在今天被銀行家拿來計算二年期債券的滿期收益。牛頓和萊布尼次（Leibniz，1646～1716，橫跨多領域的全才，在數學最重要貢獻是發明微積分，遇見並思索符號的可能性。）
在兩個世紀前為研究火星和水星所發明的微積分，今日被土木工程師用來計算橋梁的最大乘載量及最大河流流量承受度。

康托塵、謝賓斯基墊片及碎形網路
康托塵(Cantor dust)
是最古老的碎形之一，以19世紀俄德數學家(Georg Cantor 1845~1918)命名。康托扭轉了數學界對於無限大、集合及其他人習以為常的基本概念看法。康托塵是他「似是而非」理論中的一個典型。產生康托塵的方法如下：
(1)畫一條簡單的線，筆直、連續，而且是一度空間。
(2)生成元是中間三分之一被截斷的直線（上面數來第二條）。
(3)不斷以中間被截斷的直線取代每段連續的直線。這樣持續下去，直線變得越來越短。令人意外的是，這個過程可以一直持續下去，沒完沒了。最後所有的直線都會不見。取而代之的是間隙不規則的細小點狀。康托還以為他的見解有悖常理，卻沒想到自然界也頗認同他的理論。土星外環是一組接近圓形的同心圓，透明可透光。這些圓呈不規則分布，猶如康托塵被斷齒的梳子以土星中心為圓心畫出一個大大的圓形，形成不規則的溝槽。而我們所居住的地球，科學家發現某些有機化學物的光譜（即獨特的能源印記）與康托塵相仿。
謝賓斯基墊片(Sierpinski gasket)
瓦克勞.謝賓斯基(Waclaw Sierpinski,1882～1969)是一個世紀前的波蘭數學家，他無意間發現一些奇特的形狀與結構，這些有限的面積淨可以容納無限長的曲線。他對這個主題的興趣完全是以理論為出發點，純粹是為了挑戰某些誤導大眾的數學常識，謝賓斯基的發現純屬意外，很可能是看到裝飾設計時產生的靈感。
最基本的圖形（也就是起始元），是上圖左上角黑色的三角形。我們可以將這個黑色三角形看作一張畫布，碎形圖案就是要被畫在這張畫布上。黑色三角形下方是所謂的生成元，及碎形圖案的樣本。產生 Sierpinski Gasket 的方法如下：
(1)畫出實心的正三角形
(2)將三角形各邊中點連線，會分割成四個小正三角形，再把中央的正三角形拿掉，剩下其餘的三個正三角形。
(3)假使一再重複前面的步驟，三角形會越縮越小，即成為一個狀似花邊的微妙圖形。
碎形網路
碎形也可用任何空間向度呈現，即我們所熟悉的三度空間也不例外，碎形網路的製作方法和謝賓斯基墊片差不多，只不過是立體的，是層層疊疊的四面體，及金字塔，艾菲爾（Eiffel）當初設計著名的巴黎金字塔用的就是碎形網路結構，他以最少的鋼鐵架達到了最穩固的支撐力。

科赫曲線(Koch curve)與碎形維度
科赫曲線
1905年，瑞典數學家科赫（Helge von Koch,1870-1924）建構了一個類似雪花的圖形，它有著相互對稱的鋸齒狀邊緣。
如同康托塵和謝賓斯基墊片，科赫的用意也是為了證明傳統數學理論的謬誤。這個圖形的邊緣非常詭異，具有連續性卻又無限長，無法在任一點畫一條與其垂直的直線。這麼顛覆傳統的理論令當時許多追求理想中的連續性與秩序的數學家心生遲疑。1893年，法國數學家Charles Hermite寫到自己「懷著戒慎恐懼的心情，遠離這低劣可悲、得自於沒完沒了延生過程的禍患。」
科赫曲線是上述雪花圖形的三分之一。就像康托塵一開始也是直線，不同的是，康托塵直線的中間被截斷，而科赫曲線則是中段突起，成為一個小三角形，如此不斷重複，一個奇特的圖案便出現了。每重複一次，原本的直線就變成曲折的路徑，長度是原來直線的三分之四；就這樣整個圖形的周長不斷增加。
碎形維度
即表示物體不規則呈度的數值，我們對於直線所屬的一度空間及平面所屬的二度空間相當熟悉，那麼介於兩者之間的碎形維度呢？以之前的科赫曲線為例，首先測量圖形的周長。一開始用長度為圖形寬度三分之一的尺，接著將尺的長度縮短為原來的三分之一。尺縮短了就可以放進更窄的曲線中，因此每次測量所得的結果增長，是原來的三分之四；就這樣，繼續用越來越短的尺測量曲線長度。每測量一次都是，所獲得的結果都是前一次的三分之四。
碎形維度的定義就是：四的對數比三的對數。口袋型計算機可算出此一數值：1.2618。由於曲線非常曲折，其維度自然大於直線的一度空間，但還不至於高於平面的二度空間。

就自然界中複雜的形狀而言，空間是相對的並隨著觀察者的角度而改變。碎形幾何中最引人注目的就是對空間的獨特看法。自歐基里德以來，數學家一直認為「點」是零度空間，「線」屬於一度空間，「平面」屬於二度空間，而我們所熟悉的環境則是三度空間。愛因斯坦則提出了四度空間，也就是「時間」，數學上更可以此類推舉出假想的五度、六度，甚至七度空間，因而空間不應是一成不變，而是應測量的需求有所改變，隨著量尺越來越短，最後得到的結果最接近實際，此結果即為曲線的長度。
由於人類能感覺到冷熱，才有測量溫度的概念和工具，進而促成力學的研究；〈分貝〉是因為人類有聽覺才產生；〈光波和聲波頻率〉的發明則是為了解釋顏色和聲調；〈質量和速度〉被用來衡量輕重和快慢。一個世紀前，數學家(David Hilbert)曾說：「數學理論最早、歷史最悠久的問題都是來自人類的經驗，也跟外在的現象相呼應。」
數學的目的在於將生活單純化，而非複雜化。小孩子學到若要公平的分配糖果，得先算清楚糖果有幾顆，這是學會基礎計算的好處。同樣的，他們學會怎麼將一塊糖果均分成數分，這是算數。接著他們學計算做十五人份的巧克力需要多少可可粉和糖，這是代數。依此類推，數學由最簡單發展到最困難的。簡化事物最快的方式，是發現其中對稱或不變的方式，也就是不會隨著外在條件改變而變化的基本成分。
英國-愛爾蘭詩人強納生斯.威夫特(Jonathan Swift,1667~1745)《On Poetry:A Rhapsody》就有如下詩句:
如此，自然學家發現，一隻跳蚤
身上寄生了更小的跳蚤，
這些小跳蚤身上又有更小的跳蚤咬著他們，
就這樣不斷的繼續下去。