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學是利用語言研究數量、結構、變化以及空間模型等概念的一門學科。藉助語言闡述關係（數量關係，結構關係，前後變化關係）的學科，透過抽象化和邏輯推理的使用，由計數、計算、量度和對物體形狀及運動的觀察中產生。數學家們拓展這些概念，為了公式化新的猜想以及從合適選定的公理及定義中建立起嚴謹推導出的定理。注意：公式也是語言的等價轉換。公式不僅僅涉及到數量的關係，也涉及到性質的關係。
基礎數學的知識與運用總是個人與團體生活中不可或缺的一塊。其基本概念的精煉早在古埃及、美索不達米亞及古印度內的古代數學文本內便可觀見。從那時開始，其發展便持續不斷地有小幅的進展，直至16世紀的文藝復興時期，因為和新的科學發現相作用而產生的數學革新導致了知識的加速發展，直至今日。
今日，數學使用在世界上不同的領域上，包括科學、工程、醫學和經濟學等。數學對這些領域的應用通常被稱為應用數學，有時亦會激起新的數學發現，並導致全新學科的發展。數學家也研究純數學，也就是數學本身，而不以任何實際應用為目標。雖然許多研究以純數學開始，但其過程中也能發現許多應用之處。
數學出現於包含著數量、結構、空間及變化等困難問題內。一開始，出現於貿易、土地測量及之後的天文學；今日，所有的科學都存在著值得數學家研究的問題，且數學本身亦存在了許多的問題。牛頓和萊布尼茲是微積分的發明者，費曼發明了費曼路徑積分，來用於推理及物理的洞察，而今日的弦理論亦生成為新的數學。一些數學只和生成它的領域有關，且用來解答此領域的更多問題。但一般被一領域生成的數學在其他許多領域內也十分有用，且成為數學概念的一般知識。即使是「最純的」數學通常亦有實際的用途，此一卓越的事實，被維格納稱為「數學在自然科學中不可想像的有效性」。
如同大多數的研究領域，科學知識的爆發導致了數學的專業化。一主要的分歧為純數學和應用數學。在應用數學內，又被分成兩大領域，並且變成了它們自身的學科－統計學和電腦科學。
758300卡爾·弗里德里希·高斯稱數學為「科學之母」。其拉丁原文為 Regina Scientiarum，而其德語為 Königin der Wissenschaften（原意：科學的皇后），其對應於科學的單字意思為知識。而實際上，科學science在英語內的原文內也是這個意思，且無疑問地數學確實一門在此意思下的「科學」。將科學限定在自然科學則是在此之後的事。若認為科學是只指物理的世界時，則數學，至少是純數學不會是一門科學。
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數量
數量的研究起於數，一開始為熟悉的自然數及整數與被描述在算術內的自然數及整數的算術運算。當數系更進一步發展時，整數被承認為有理數的子集，而有理數則包含於實數中，連續的數量即是以實數來表示的。實數則可以被進一步廣義化成複數。數的進一步廣義化可以持續至包含四元數及八元數。自然數的考慮亦可導致超限數，它公式化了計數至無限的這一概念。另一個研究的領域為其大小，這個導致了基數和之後對無限的另外一種概念：艾禮富數，它允許無限集合之間的大小可以做有意義的比較。
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結構
許多如數及函數的集合等數學物件都有著內含的結構。這些物件的結構性質被探討於群、環、體及其他本身即為此物件的抽象系統中。此為代數的領域。在此有一個很重要的概念，即向量，且廣義化至向量空間，並研究於線性代數中。向量的研究結合了數學的三個基本領域：數量、結構及空間。向量分析則將其擴展至第四個基本的領域內，即變化。
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空間
的研究源自於幾何－尤其是歐幾里得幾何。三角學則結合了空間及數，且包含有著名的勾股定理。現今對空間的研究更推廣到了更高維的幾何、非歐幾里得幾何（其在廣義相對論中扮演著核心的角色）及拓撲學。數和空間在解析幾何、微分幾何和代數幾何中都有著很重要的角色。在微分幾何中有著纖維叢及流形上的計算等概念。在代數幾何中有著如多項式方程式的解集等幾何物件的描述，結合了數和空間的概念；亦有著拓撲群的研究，結合了結構與空間。李群被用來研究空間、結構及變化。在其許多分支中，拓撲學可能是二十世紀數學中有著最大進展的領域，並包含有存在久遠的龐加萊猜想及有爭議的四色定理，其只被電腦證明，而從來沒有由人力來驗證過。
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變化
了解及描述變化在自然科學裡是一普遍的議題，而微積分更為研究變化的有利工具。函數誔生於此，做為描述一變化的量的核心概念。對於實數及實變函數的嚴格研究為實分析，而複分析則為複數的等價領域。黎曼猜想－數學最基本的未決問題之一－即以複分析來描述。泛函分析注重在函數的(一般為無限維)空間上。泛函分析的眾多應用之一為量子力學。許多的問題很自然地會導出數量與其變化率之間的關係，而這則被微分方程式所研究著。在自然界中的許多現象可以被動力系統所描述；混沌理論明確化許多表現出不可預測的系統之行為，而且為決定性系統的行為。
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數學不是占數術。數學的證明或反證明的意念都要在邏輯之中進行，占數術卻非。數學不是會計學。雖然會計師的工作就是算術運算，他們只需檢查計算是否準確。證明和反證假設對數學家很重要但對會計師毫不重要。如高等抽象數學的發展不能改善簿記的精確性和效率，和會計學毫無關係。數學不是物理，雖然歷史上和哲學上兩者關係密切。
數學獎通常和其他科學的獎項分開。數學上最有名的獎為菲爾茲獎，創立於1936年，每四年頒獎一次。它通常被認為是數學的諾貝爾獎。另一個國際上主要的獎項為阿貝爾獎，創立於2003年。兩者都頒獎於特定的工作主題，包括數學新領域的創新或已成熟領域中未解決問題的解答。
高斯(數學王子)說︰『數學是科學之王』
牛頓說︰『沒有大膽的猜想，就做不出偉大的發現』
愛因斯坦曾這樣描述著：「數學定律越和現實有關，它們越不確實；若它們越是確定的話，它們和現實越不會有關。」
羅素說︰『數學是符號加邏輯』
畢達哥拉斯說︰『數支配著宇宙』
哈爾莫斯說︰『數學是一種別具匠心的藝術』
米斯拉說︰『數學是人類的思考中最高的成就』
培根(英國哲學家)說︰『數學是打開科學大門的鑰匙』
布爾巴基學派(法國數學研究團體)認為︰『數學是研究抽象結構的理論』
黑格爾說︰『數學是上帝描述自然的符號』
魏爾德(美國數學學會主席)說︰『數學是一種會不斷進化的文化』
柏拉圖說︰『數學是一切知識中的最高形式』
考特說︰『數學是人類智慧皇冠上最燦爛的明珠』
笛卡兒說︰『數學是知識的工具，亦是其他知識工具的泉源。所有研究順序和度量的科學均和數學有關。』
恩格斯(自然辯證法哲學家)說︰『數學是研究現實生活中數量關係和空間形式的數學』
克萊因(美國數學家)說︰『數學是一種理性的精神，使人類的思維得以運用到最完善的程度』
伽利略說︰『給我空間、時間、及對數，我可以創造一個宇宙』『自然界的書是用數學的語言寫成的』